Algèbre linéaire Exemples

[\begin{matrix} 3 & 1 4 & 1 \end{matrix}] x = [\begin{matrix} 5 & - 1 2 & 3 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 3 & 1 \\ 4 & 1 \end{array}] x = [\begin{array}{c} 5 & - 1 \\ 2 & 3 \end{array}]$

Step 1

Le noyau d’une transformation est un vecteur qui rend cette transformation égale au vecteur nul (la préimage de la transformation).

[\begin{matrix} 5 & - 1 2 & 3 \end{matrix}] = 0

$[\begin{array}{c} 5 & - 1 \\ 2 & 3 \end{array}] = 0$

Step 2

Créez un système d’équations à partir de l’équation vectorielle.

5 = 0

$5 = 0$

2 = 0

$2 = 0$

Step 3

Soustrayez

5

$5$ des deux côtés de l’équation.

0 = - 5

$0 = - 5$

2 = 0

$2 = 0$

Step 4

Soustrayez

2

$2$ des deux côtés de l’équation.

0 = - 2

$0 = - 2$

0 = - 5

$0 = - 5$

Step 5

Écrivez le système d’équations sous forme de matrice.

[\begin{matrix} - 5 - 2 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} - 5 \\ - 2 \end{array}]$

Step 6

Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite de la matrice.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Réalisez l’opération ligne

R_{1} = - \frac{1}{5} R_{1}

$R_{1} = - \frac{1}{5} R_{1}$ sur

R_{1}

$R_{1}$ (ligne

1

$1$ ) afin de convertir certains éléments de la ligne en

1

$1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Remplacez

R_{1}

$R_{1}$ (ligne

1

$1$ ) par l’opération ligne

R_{1} = - \frac{1}{5} R_{1}

$R_{1} = - \frac{1}{5} R_{1}$ afin de convertir des éléments de la ligne à la valeur souhaitée

1

$1$ .

[\begin{matrix} - \frac{1}{5} R_{1} - 2 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{5} R_{1} \\ - 2 \end{array}]$

R_{1} = - \frac{1}{5} R_{1}

$R_{1} = - \frac{1}{5} R_{1}$

Remplacez

R_{1}

$R_{1}$ (ligne

1

$1$ ) par les valeurs réelles des éléments pour l’opération ligne

R_{1} = - \frac{1}{5} R_{1}

$R_{1} = - \frac{1}{5} R_{1}$ .

[\begin{matrix} (- \frac{1}{5}) \cdot (- 5) - 2 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} (- \frac{1}{5}) \cdot (- 5) \\ - 2 \end{array}]$

R_{1} = - \frac{1}{5} R_{1}

$R_{1} = - \frac{1}{5} R_{1}$

Simplifiez

R_{1}

$R_{1}$ (ligne

1

$1$ ).

[\begin{matrix} 1 - 2 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \end{array}]$

[\begin{matrix} 1 - 2 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \end{array}]$

Réalisez l’opération ligne

R_{2} = 2 \cdot R_{1} + R_{2}

$R_{2} = 2 \cdot R_{1} + R_{2}$ sur

R_{2}

$R_{2}$ (ligne

2

$2$ ) afin de convertir certains éléments de la ligne en

0

$0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Remplacez

R_{2}

$R_{2}$ (ligne

2

$2$ ) par l’opération ligne

R_{2} = 2 \cdot R_{1} + R_{2}

$R_{2} = 2 \cdot R_{1} + R_{2}$ afin de convertir des éléments de la ligne à la valeur souhaitée

0

$0$ .

[\begin{matrix} 1 2 \cdot R_{1} + R_{2} \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 \\ 2 \cdot R_{1} + R_{2} \end{array}]$

R_{2} = 2 \cdot R_{1} + R_{2}

$R_{2} = 2 \cdot R_{1} + R_{2}$

Remplacez

R_{2}

$R_{2}$ (ligne

2

$2$ ) par les valeurs réelles des éléments pour l’opération ligne

R_{2} = 2 \cdot R_{1} + R_{2}

$R_{2} = 2 \cdot R_{1} + R_{2}$ .

[\begin{matrix} 1 (2) \cdot (1) - 2 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 \\ (2) \cdot (1) - 2 \end{array}]$

R_{2} = 2 \cdot R_{1} + R_{2}

$R_{2} = 2 \cdot R_{1} + R_{2}$

Simplifiez

R_{2}

$R_{2}$ (ligne

2

$2$ ).

[\begin{matrix} 10 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array}]$

[\begin{matrix} 10 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array}]$

[\begin{matrix} 10 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array}]$

Step 7

Utilisez la matrice de résultat pour déclarer les solutions finales au système d’équations.

0 = 1

$0 = 1$

Step 8

Cette expression est l’ensemble de solutions pour le système d’équations.

{}

${}$

Step 9

Décomposez un vecteur solution en réorganisant chaque équation représentée dans la matrice augmentée en ligne réduite en résolvant pour la variable dépendante sur chaque ligne pour obtenir l’égalité vectorielle.

X = = [\begin{matrix} 0 \end{matrix}]

$X = = [\begin{array}{c} 0 \end{array}]$

Step 10

L’espace nul de l’ensemble est l’ensemble de vecteurs créé à partir des variables libres du système.

{[\begin{matrix} 0 \end{matrix}]}

${[\begin{array}{c} 0 \end{array}]}$

Step 11

Le noyau de

M

$M$ est le sous-espace

{[\begin{matrix} 0 \end{matrix}]}

${[\begin{array}{c} 0 \end{array}]}$ .

K (M) = {[\begin{matrix} 0 \end{matrix}]}

$K (M) = {[\begin{array}{c} 0 \end{array}]}$